Subversion Repositories svnkaklik

Rev

Blame | Last modification | View Log | Download

\documentclass[12pt,notitlepage,fleqn]{article}

\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[pdftex]{graphicx}
\usepackage{fancyhdr,multicol} %nastavení češtiny, fancy, grafiky, sloupce
\usepackage[utf8]{inputenc} %vstupni soubory v kodovani UTF-8
\usepackage[a4paper,text={17cm,25cm},centering]{geometry} %nastavení okrajů
\usepackage{rotating}

\begin{document}

\section*{Řešení 6. zadané úlohy           -        Jakub Kákona}

\begin{enumerate}
  
\item

Spočítáme matici řiditelnosti systému

\begin{equation}
C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =
\left[ \begin{array}{cccccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 &  4 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 1 & -3& 0 & -10 & -3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 4 & 1 & 13 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1& 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}
  
Protože tato matice má hodnost pouze 4. Tak obsahuje zbytečné vektory. Vybereme proto lineárně nezávislé:


\begin{equation}
\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1   \\
1 & 1 & 0 & -3  \\
0 & 0 & 1 & 4   \\
0 & 1 & 0 & -1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Indexy řiditelnosti pak jsou 

\begin{equation}
\mu _1=3 \\
\mu _2=1
\end{equation}

Dále vypočteme inverzní matici k matici $\tilde{C}$

\begin{equation}
\tilde{C} ^{-1} = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right] =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 1   \\
1 & 1 & 0 & -3  \\
0 & 0 & 1 & 4   \\
0 & 1 & 0 & -1  \\
\end{array}
\right]^{-1}=
\left[ \begin{array}{cccc}
2 & 1 & 0 & -1   \\
-4 & 0 & 1 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 0  \\
1 & 0 & 0 & 1  \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Pro sestavení transformační matice P vybereme řádky $q_1, q_2$ na základě zjištěných indexů řiditelnosti. 

\begin{equation}
P = \left[ \begin{array}{c}
q_1 \\
q_1 A \\
q_1 A^2 \\
q_2 \\
\end{array}
\right]\\
\sigma_1 = \mu _1 = 3, \sigma = \mu _1 + \mu _2 = 4
\end{equation}

Z matice $\tilde{C} ^{-1}$ bude proto k sestavení transformační matice P použit 3. a 4. řádek

\begin{equation}
q_1 = \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\\
q_2 = \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]\\
\end{equation}

\begin{equation}
P = \left[ \begin{array}{c}
q_1 \\
q_1 A \\
q_1 A^2 \\
q_2 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
-1 & 1 & 4 & -1 \\
1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]\\
\end{equation}

\begin{equation}
P^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -4 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]\\,
\end{equation}

Nyní přetransformujeme matice A a B pomocí nalezené matice P. 

\begin{equation}
A_c = PAP^{-1}=\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & -3 & 4 & 1 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right],
\end{equation}

\begin{equation}
B_c = PB =\left[ \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0 \\
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right],
\end{equation}

   
\item

Vlastní číslo $\lambda$ je neřiditelné v případě, že bude platit:

\begin{equation}
h[\lambda _i I - A, B] < n 
\end{equation} 

$n$ je řád systému. Pro určení podmínky řiditelnosti systému (A, B) vyjdeme z obecného tvaru matic. 

\begin{equation}
A = \left[ \begin{array}{cccc}
\lambda _1   & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda _2 & & \vdots  \\
\vdots &  & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & \lambda _n \\
\end{array}
\right]\\
B = \left[ \begin{array}{cccc}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & & \vdots  \\
\vdots &  & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & \cdots & \cdots & b_{mn} \\
\end{array}
\right]\\
\end{equation} 

V důsledku toho, že matice A je diagonální a obsahuje tedy přímo vlastní čísla. Tak dosazením vlastního čísla do výše uvedeného vzorce bude hodnost matice A snížena minimálně o jedna. (v závislosti na algebraické násobnosti vlastního čísla.)
Pokud ale budou všechny řádky matice B lineárně nezávislé, tak hodnost testovací matice $h[\lambda _i I - A, B]$ nebude snížena pod $n$ a systém bude řiditelný.  V opačném případě, pokud  matice B nebude mít vhodnou lineární nezávislost, tak systém bude neřiditelný.

\item
Je potřeba zjistit vlastní čísla matice A. 

\begin{equation}
\det (\lambda I - A) = 
\det \left[ \begin{array}{cccc}
\lambda & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda & 0 & 0 \\
0 & -1 & \lambda & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda + 1 \\
\end{array}
\right]=
\lambda \det \left[ \begin{array}{ccc}
 \lambda & 0 & 0 \\
 -1 & \lambda & 0 \\
 0 & 0 & \lambda + 1 \\
\end{array}
\right]
= \lambda ^3 (\lambda + 1) 
\end{equation} 

Vlastní čísla matice pak jsou:

\begin{equation}
\lambda _{1} = -1 \\ \lambda _{2,3,4} = 0
\end{equation}

Dále potřebujeme matici pozorovatelnosti systému

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
A^3C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Stav je nepozorovatelný, pokud je součástí jádra matice O.  tj. $x \in ker(O)$

Hledáme proto řešení soustavy:

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\\
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
d \\
\end{array}
\right] = 0
\end{equation}

\begin{equation}
N(0) = \left[ \begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array} \right]
\end{equation} 

Dále hledáme transformační matici $Q = [Q_o, v_1]$ , která umožní vytvořit standardní formu nepozorovatelných systémů. $v_1$ je vektor z nepozorovatelného podprostoru systému a $Q_o$ je matice složená z lineárně nezávislých vektorů matice O. 

\begin{equation}
Q = \left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Nyní můžeme sestavit standardní tvar. 

\begin{equation}
\tilde{A} = Q^{-1} A Q =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

Dílčí bloky matice pak jsou: 

\begin{equation}
\tilde{A}_1 =
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]\\
\tilde{A}_2 = -1
\end{equation} 

Dále lze upravit i matici C. 

\begin{equation}
\tilde{C} = CQ =
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cccc}
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right]=
\left[ \begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Z těchto výsledků již zjistíme, že 

\begin{enumerate}
\item Vlastní čísla matice $A_1$, $\lambda _{1,2,3}=0$ jsou pozorovatelná vlastní čísla systému (A, C). 

\item Vlastní číslo $A_2 = \lambda _4 = -1$ je nepozorovatelným vlastním číslem. A mód náležící tomuto vlastnímu číslu je nepozorovatelný. 
\end{enumerate}

\item

Vypočteme matici pozorovatelnosti 

\begin{equation}
O = \left[ \begin{array}{c}
C \\
AC \\
A^2C \\
\end{array}
\right]
= \left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & -2 \\
\end{array}
\right]
\end{equation} 

A řiditelnosti systému:

\begin{equation}
\tilde{C} = \left[ B, AB, A^2B \right] =
\left[ \begin{array}{cccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Dále ještě potřebujeme jádro matice O.

\begin{equation}
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
-2 & 4 & -2 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{c}
a \\
b \\
c \\
d \\
\end{array}
\right] = 0
\end{equation}


\begin{equation}
N(O) = \left[ \begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1 \\
\end{array} \right]
\end{equation} 

Nyní můžeme určit transformační matici Q. 

\begin{equation}
Q = [v_1, v_2, Q_n] = 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Její inverze je:

\begin{equation}
Q ^{-1}= 
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]^{-1}
= 
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}

Nyní lze určit Kalmanovu formu matic 

\begin{equation}
\tilde{A}= Q^{-1} A Q =
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 0 & -2 \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{B}= Q^{-1} B =
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
1 & -2 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{cc}
1 & 0  \\
1 & 1  \\
1 & 2  \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 \\
0 & -1 \\
0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{C}= CQ =
\left[ \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right]
\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 1 \\
\end{array}
\right]
=\left[ \begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right] 
\end{equation}

\begin{equation}
\tilde{D}= D =
\left[ \begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]
\end{equation}



\item

Příklad je podobný příkladu č. 4. z předchozího úkolu. 

\begin{enumerate}
\item 

Spočítáme matici řiditelnosti:
\begin{equation}
C = \left[ B, AB, A^2B, A^3B \right]
\end{equation}

U matice vyjde plná hodnost, a systém by proto měl být řiditelný. 

\item Když matici B upravíme tak, aby efekt síly $f_2$  byl nulový a přepočítáme matici řiditelnosti, tak vyjde opět plná hodnost. A systém by proto měl být řiditelný ze vstupu $f_1$

Protože jde o spojitý systém, tak se zde dosažitelnost a řiditelnost nerozlišuje. 

Matice B může být upravena i tak, aby efekt síly $f_1$ byl nulový. ale opět vyjde plná hodnost. 
\end{enumerate}

Podobně je to i s dalšími typy určujících matic. (vždy vyjde plná hodnost a systém splňuje podmínky na pozorovatelnost a řiditelnost)

Problémem tohoto příkladu pravděpodobně je špatně podmíněná neceločíselná matice. A použití vhodného numerického řešení. K zjištění problematických stavů.  

\end{enumerate} 
\end{document}